wurzel(|f|) R-integrierbar? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | $D$ sei quadrierbar, f sei auf [mm] $D\subset\IR^{n}$ [/mm] Riemann-integrierbar. Zeige: Dann ist auch [mm] \sqrt{|f|} [/mm] auf D Riemann-integrierbar. |
Hallo!
Ich habe auf einigen Seiten gelesen, das obige Aussage stimmt.
Ich weiß bereits, dass |f| R-integrierbar auf D ist.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die gesamte Aussage nachweisen kann. Ich habe es mit Riemann-Summen probiert, aber da es im mehrdimensionalen ist kann ich weder die Stetigkeit von der Wurzel noch die Monotonie irgendwie gewinnbringend ausnutzen. |f| ist ja beschränkt, d.h. es ex. m,M so dass $m [mm] \le |f| \le [/mm] M$. Probleme treten mit der Wurzel auf, wenn $m = 0$ gewählt werden muss.
Man hat ja, weil |f| integrierbar auf D:
Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. eine Zerlegung [mm] \{B_i\} [/mm] von D so, dass
[mm] $\sum_{i}|B_i|*(\sup_{x\in B_i}|f(x)| [/mm] - [mm] \inf_{x\in B_i}|f(x)|) [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ich müsste jetzt folgern, dass für dieselbe Zerlegung gilt:
[mm] $\sum_{i}|B_i|*(\sup_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} [/mm] - [mm] \inf_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|}) [/mm] < [mm] Term(\varepsilon)$.
[/mm]
wobei [mm] $Term(\varepsilon)\to [/mm] 0$ für [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$.
Mir ist die Abschätzung [mm] $\sup_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} [/mm] - [mm] \inf_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} [/mm] = [mm] \sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|} [/mm] - [mm] \sqrt{\inf_{x\in B_i}|f(x)|} [/mm] = [mm] \frac{\sup_{x\in B_i}|f(x)| - \inf_{x\in B_i}|f(x)|}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|} + \sqrt{\inf_{x\in B_i}|f(x)|}} \le \frac{\sup_{x\in B_i}|f(x)| - \inf_{x\in B_i}|f(x)|}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|}}$
[/mm]
noch eingefallen (Da Wurzelfunktion monoton). Das Problem ist aber, dass ich ja erst mein [mm] \varepsilon [/mm] wähle, danach die Zerlegung [mm] B_i [/mm] bekomme. Somit weiß ich [mm] \max_{i}\left(\frac{1}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|}}\right) [/mm] ja nicht vorher...
Kann mir jemand helfen, oder einen Satz sagen, der mir die Integrierbarkeit liefert?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]D[/mm] sei quadrierbar, f sei auf [mm]D\subset\IR^{n}[/mm]
> Riemann-integrierbar. Zeige: Dann ist auch [mm]\sqrt{|f|}[/mm] auf D
> Riemann-integrierbar.
> Hallo!
>
> Ich habe auf einigen Seiten gelesen, das obige Aussage
> stimmt.
>
> Ich weiß bereits, dass |f| R-integrierbar auf D ist.
>
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich die gesamte Aussage
> nachweisen kann. Ich habe es mit Riemann-Summen probiert,
> aber da es im mehrdimensionalen ist kann ich weder die
> Stetigkeit von der Wurzel noch die Monotonie irgendwie
> gewinnbringend ausnutzen. |f| ist ja beschränkt, d.h. es
> ex. m,M so dass [mm]m \le |f| \le M[/mm]. Probleme treten mit der
> Wurzel auf, wenn [mm]m = 0[/mm] gewählt werden muss.
>
> Man hat ja, weil |f| integrierbar auf D:
>
> Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ex. eine Zerlegung [mm]\{B_i\}[/mm] von D so,
> dass
>
> [mm]\sum_{i}|B_i|*(\sup_{x\in B_i}|f(x)| - \inf_{x\in B_i}|f(x)|) < \varepsilon[/mm].
>
> Ich müsste jetzt folgern, dass für dieselbe Zerlegung
> gilt:
>
> [mm]\sum_{i}|B_i|*(\sup_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} - \inf_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|}) < Term(\varepsilon)[/mm].
>
> wobei [mm]Term(\varepsilon)\to 0[/mm] für [mm]\varepsilon \to 0[/mm].
> Mir
> ist die Abschätzung [mm]\sup_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} - \inf_{x\in B_i}\sqrt{|f(x)|} = \sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|} - \sqrt{\inf_{x\in B_i}|f(x)|} = \frac{\sup_{x\in B_i}|f(x)| - \inf_{x\in B_i}|f(x)|}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|} + \sqrt{\inf_{x\in B_i}|f(x)|}} \le \frac{\sup_{x\in B_i}|f(x)| - \inf_{x\in B_i}|f(x)|}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|}}[/mm]
>
> noch eingefallen (Da Wurzelfunktion monoton). Das Problem
> ist aber, dass ich ja erst mein [mm]\varepsilon[/mm] wähle, danach
> die Zerlegung [mm]B_i[/mm] bekomme. Somit weiß ich
> [mm]\max_{i}\left(\frac{1}{\sqrt{\sup_{x\in B_i}|f(x)|}}\right)[/mm]
> ja nicht vorher...
>
> Kann mir jemand helfen, oder einen Satz sagen, der mir die
> Integrierbarkeit liefert?
Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium:
g ist auf D R-integrierbar [mm] \gdw [/mm] g ist auf D beschränkt und fast überall stetig.
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort! Damit könnte man dann sagen:
|f| integrierbar ---> Unstetigkeitsstellenmenge von |f| eine Nullmenge --> Unstetigkeitsstellenmenge von [mm] \sqrt{|f|} [/mm] eine Nullmenge --> [mm] \sqrt{|f|} [/mm] integrierbar.
Allerdings musste ich feststellen, dass wir das Integral mit dem ![[]](/images/popup.gif) Jordan-Maß und nicht mit dem Lebesque-Maß definiert haben. Da gilt leider nur die Richtung
f beschränkt und fast überall stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f integrierbar,
aber nicht die Umkehrung. Was kann man dann tun?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort! Damit könnte man dann sagen:
> |f| integrierbar ---> Unstetigkeitsstellenmenge von |f|
> eine Nullmenge --> Unstetigkeitsstellenmenge von [mm]\sqrt{|f|}[/mm]
> eine Nullmenge --> [mm]\sqrt{|f|}[/mm] integrierbar.
>
> Allerdings musste ich feststellen, dass wir das Integral
> mit dem
> Jordan-Maß und
> nicht mit dem Lebesque-Maß definiert haben. Da gilt leider
> nur die Richtung
>
> f beschränkt und fast überall stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f
> integrierbar,
Wer sagt das ? Schau mal nach bei H. Heuser, Lehrbuch der Analysis (Teil 2), Satz 201.3
FRED
>
> aber nicht die Umkehrung. Was kann man dann tun?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
> > Da gilt leider
> > nur die Richtung
> >
> > f beschränkt und fast überall stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f
> > integrierbar,
>
>
> Wer sagt das ? Schau mal nach bei H. Heuser, Lehrbuch der
> Analysis (Teil 2), Satz 201.3
Aber dort ist doch fast überall stetig auch im Sinne des Lebesgue-Maßes gemeint, oder?
Hier geht es ja um Nullmengen bzgl. des Jordan-Maßes.
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mo 19.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > > Da gilt leider
> > > nur die Richtung
> > >
> > > f beschränkt und fast überall stetig [mm]\Rightarrow[/mm] f
> > > integrierbar,
> >
> >
> > Wer sagt das ? Schau mal nach bei H. Heuser, Lehrbuch der
> > Analysis (Teil 2), Satz 201.3
>
> Aber dort ist doch fast überall stetig auch im Sinne des
> Lebesgue-Maßes gemeint, oder?
Nein ! Der Titel des §en 201 lautet: " Integration über Jordan -meßbare Mengen"
FRED
> Hier geht es ja um Nullmengen bzgl. des Jordan-Maßes.
>
> Vielen Dank!
> Grüße,
> Stefan
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